幂函数与反函数



幂函数与反函数

【知识要点】

1. 幂函数的定义:一般地,把形如y =x 的函数叫做幂函数,其中x 是自变量,a 是常数. 2. 幂函数的图像

a

3. 图像性质总结: Ⅰ a >0

(1)图像都过点(0,0)和(1,1); (2)函数在区间(0,+∞) 上都是增函数;

(3)当x >1时,指数大的图像在上方;当0

Ⅱ a

(1)图像都过点(0,0)和(1,1); (2)函数在区间(0,+∞) 上都是减函数;

(3)在第一象限内,图像向上无限地接近y 轴,向右无限地接近x 轴; (4)当x >1时,指数大的图像在上方;0

(2)x >1时,指数大的图像在上方;0

(1)定义及写法

(2)性质:①互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称

②若函数y =f (x ) 的图像上有一点(a , b ) ,则(b , a ) 必在其反函数的图像上;

反之,(b , a ) 在反函数的图像上,则点(a , b ) 必在原函数的图像上;

③函数存在反函数的必要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;

④严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数——【反函数存在定理】。 ⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (3)反函数的求法:

1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域; 2、反解x ,也就是用y 来表示x ;

3、改写x 和y ,交换位置,也就是把x 改成y ,把y 改成x ; 4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。

【典型例题】

21

1211

例1 设a =() 3, b =() 3, c =() 3,则( ).

252

A. a A. p , q 均为奇数,且p >q B. p 为奇数,q 为偶数且p >q C. q 为奇数,p 为偶数且p >q D. q 为奇数,p 为偶数且p

例3

已知点p q

在幂函数f (x ) 的图像上,则f (x ) 的解析式是( )

.

1

2 D.

A. f (x ) =x B.f (x ) =x C. f (x ) =x

3-3

-

f (x ) =x

12

x 2+4x +5例4 求函数f (x ) =2的单调区间,并比较f (-

π) 和f (的大小.

x +4x +4

例5已知幂函数y =x

m 2-2m -3

(m ∈N +) 的图像关于y 轴对称,且在(0,+∞) 上函数值随x 的

增大而减小,求满足(a +1)

-

m 3

-

m 3

的a 的取值范围.

?2x , x ≥0y =例6 函数的反函数是( ).

?2

-x , x

?x

??, x ≥0?2x , x ≥0

A. y =2 B. y =

x

?x

, x ≥0???2x , x ≥0

C. y =?2 D. y =?

??x

?

2x +1

(x

2-1

x +1

(x

x -1x -1

C. y =log 2(x

x +1

A. y =log 2

例8 设函数y =f (x ) 的反函数为y =f

-1

x +1

(x >1) x -1x -1

(x >1) x +1

1

(x ) ,且y =f (2x -1) 的图像过点(,1) ,则

2

y =f -1(x ) 的图像必过点( ).

A. (,1) B. (1,) C. (1,0) D. (0,1)

1212

【课堂练习】

1. 函数y =x 的图象是

4

3

( )

A . B. C. D.

( )

α

2. 下列命题中正确的是

A .当α=0时函数y =x 的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点

C .若幂函数y =x 是奇函数,则y =x 是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限

3. 如右图所示,幂函数y =x 在第一象限的图象,比较

α

αα

α1

0, α1, α2, α3, α4, 1的大小,有( ).

A .α1

4. 对于幂函数f (x ) =x ,若0

4

5

α4

α2

α3

f (

x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

大小关系是( ) ) ,

22x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

) >

22

B . f (

A .f (

x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

)

22

x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)

D . 无法确定 ) =

22-x

5. 函数y =3+1的反函数为y =g (x ) ,则g (10)= .

C . f (

3, 27) ,则f 6. 幂函数f (x ) 的图象过点(

2

-1

(x ) 的解析式是

.

7. 函数f (x ) =x -2ax -3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是( ).

A. a ∈(-∞,1] B. a ∈[2,+∞) C. a ∈[1,2] D. a ∈(-∞,1] [2,+∞) 8. 已知函数f (x ) =x

-2m 2+m +3

(m ∈Z ) 为偶函数,且f (3)

(1)求m 的值,并确定f (x ) 的解析式;

) -ax ](a >0, a 1≠) (2)若g (x ) =log [a f (x

函数?

,是否存在实数a ,使得g (x ) 在(2,3)上为增

9. 由于对某种商品开始收税,使其定价比原定价上涨x 成(即上涨率为

x

),涨价后,商10

品卖出个数减少bx 成,税率是新定价的a 成,这里a , b 均为正常数,且a

【课后作业】

1. 若不等式(-2) >(2a +4)

a

2. y =x

2

23

2

3恒成立,求实数

a 的取值范围.

-4a -9

是偶函数,且在(0, +∞) 是减函数,则整数a 的值是

( )

3. 函数y =x |x |,x ∈R ,满足 A .是奇函数又是减函数

B .是偶函数又是增函数

C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数

D .y =x

-14

4. 下列函数中既是偶函数又是(-∞, 0) 上是增函数的是 A.y =x

3

( )

( )

4

3

B .y =x

13

32

C .y =x

-2

5. 函数y =x 和y =x 图象满足

A .关于原点对称 B.关于x 轴对称

C .关于y 轴对称 D.关于直线y =x 对称 6. 幂函数y =x

n

(-1) k m

(m , n , k ∈N *,m , n 互质) 图象在一、二象限,不过原点,则k , m , n 的

-1

奇偶性为 .

7. 已知函数y =f (x ) 存在反函数y =f 函数y =f

-1

(x ) ,若函数y =f (x +1) 的图像经过点(3,1),则

(x ) 必经过点


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